Divisibilité

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui porte sur les nombres entiers relatifs. C'est-à-dire qu'en arithmétique, on travaille dans l'ensemble \(\mathbb{Z}\).

Définition

Soit \(a\in\mathbb{Z}\) et soit \(b\in \mathbb{Z}\) ; on dit que \(b\) divise \(a\) s'il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=k\times b\).
On dit aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\).
On dit aussi que \(a\) est divisible par \(b\).
On dit aussi que \(a\) est un multiple de \(b\).

Exemple

\(38=2\times19\)

On peut alors dire que :

• \(19\) divise \(38\) et aussi que \(2\) divise \(38\) ;
  
• \(38\) est divisible par \(19\) et aussi que \(38\) est divisible par \(2\) ;
  
• \(19\) est un diviseur de \(38\) et aussi que \(2\) est un diviseur de \(38\) ;
  
• \(38\) est un multiple de \(19\) et aussi que \(38\) est un multiple de \(2\).
  

Propriété

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres entiers relatifs.
Si \(b\) et \(c\) sont des multiples de \(a\), alors \(b+c\) est aussi un multiple de \(a\).

Démonstration

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres entiers relatifs.
Par hypothèse, \(b\) et \(c\) sont des multiples de \(a\).
Ceci signifie qu'il existe \(k_1\in\mathbb{Z}\) et \(k_2\in\mathbb{Z}\) tels que \(b=a\times k_1\)et \(c=a\times k_1\).
Par conséquent, \(b+c=a\times k_1+a\times k_2=a\times (k_1+k_2)\).
\(\)Or \(k_1\in\mathbb{Z}\) et \(k_2\in\mathbb{Z}\) donc \(k_1+k_2\in\mathbb{Z}\) .
Ainsi, \(b+c\) s'écrit comme le produit de \(a\) par un entier relatif.
\(b+c\) est bien un multiple de \(a\).